Примери пројектних активности

Уживајте у примерима колега:

Завршни рад колегинице Маје Теофиловић: Математика у природи

Завршни рад колегинице Гордане Станојевић: Математика свуда око нас

Завршни рад колегинице  Сање Љубомировић: Проценти и њихова примена

Проблемски задатак колегинице Љиљане Рехнер: Направити призму од датог материјала

Колега Радомир Исак има леп пример разјашњавања примене алгоритама и улоге математике у школама: Примена алгоритама у свету око нас

Колега Миклош Ковач има леп пример израде игре за средњу школу:

Израда рачунарске игре са математичком тематиком

Прошлогодишњи примери:

Наставник: Марина Граховац

ДОМАЋИ- ЗАВРШНИ

УТИСЦИ ПОСЛЕ ПРОЈЕКТА КОЈИ СУ УЧЕНИЦИ 7.РАЗРЕДА РАДИЛИ НА ТЕМУ ПИТАГОРА

Излагање радова било је у октобру.

Излагање ученика је било после две недеље од када су добили тему на коју треба да раде пројекат.
За излагање свака група је избрала пано који су радили на хамеру, ниједна група није радила ПТТ презентацију. Свака група је излагала свој рад а остале групе су заједно са наставницом пажљиво слушале и оцењивале рад сваке групе појединачно.

Највише су им се свидели радови група ПИТАГОРИНО ДРВО и ПИТАГОРЕЈСКИ ПУЖ јер су поред тога што су испричали нешто о томе имали и јако лепо то нацртано на хамеру.

На овом часу су чули доста о Питагори што иначе неби чули на редовном часу у том обиму и због тога овакав начин рада им се много свидео и тражили су да раде још неки пројекат на којем могу сами да истражују и да после то предсављају једни другима. Као проблем у појединим групама јавила се тешкоћа око организације заједничког окупљања због обавеза које имају ван школе па су тражили да следећи пројекат раде после или пре наставе у школи.

Слике ученичких радова:

После одржаног часа наставница је заједно са ученицима у учионици на једном зиду направила Питагорин кутак. Како изгледа тај кутак имате на слици испод.

Колегиница Наташа Мисаиловић, послала је ову идеју:

Примена процената – утврђивање –

Час је замишљен као продавница. Ученици су продавци, купци и
тржишна инспекција(контролори). Клупе су пре часа распоређене као
тезге за продају робе.
Наставник је већ раније поделио ученике у групе и дао им задужења.
Групе продаваца су донеле своје производе и излажу их на
„тезгама“. Најбоље би било да постоје на различитим „тезгама“ исти
производи, али није неопходно.
На сваком производу ће бити истакнута цена, али ће тај производ
бити најчешће на одређеном снижењу. Неколико производа ће имати
поскупљење.
Групе купаца ће израчунавати нове цене производа и бираће на којој
тезги им је најповољније да купе. Почетне цене истих производа
треба да буду различите , а снижења и поскупљења такође треба да
буду различита, да купци не би могли лако да процене где је
најповољнија куповина. Најбоље би било да наставник формира цене
и поскупљења/снижења пре часа за сваки производ.
Групе „контролора“ прате куповину и израчунавање нових цена. То може да буде и једна група састављена од бољих математичара.

Главни део часа:

Сви су заузели своја места.

Групе купаца израчунавају цене производа и бирају где ће да купе.
Могу да користе направљене новчанице или картице, то су такође
раније припремили.
Контролори прате да ли су израчунавања добра.
Наставник сугерише ученицима да покушају да израчунавају нове
цене напамет, јер је то најприближније реалној ситуацији.
Уколико се ученици добро снађу у овим улогама и успешно обаве
израчунавања, могу се при крају часа објавити нова, додатна снижења
за преосталу робу. Купци тако израчунавају „снижење на снижење“.
Наставник прати рад ученика, даје инструкције и додатна објашњења.

Завршни део часа:

Контролори износе своја запажања, који купци су успешно
израчунавали цене и на којој тезги су биле најповољније цене.

Пример пројекта из Карловачке гимназије стигао је од колегинице Бранке Ранисављевић:

Пројекат
Годишња доба у математици
Током овог пројекта уценици би имали за циљ да увиде примену математике кроз
реалан живот. У сваком годишњем добу имали би задатак да увиде појаве,
предмете који су повезани са математиком, попут пахуљица, лишћа, цвећа,
шкољки итд… у зависности од годишњег доба. Овим пројектом би се остварила
корелација математике, биологије и информатике. Наставне јединице које би се
обухватиле су изометријске трансформације : централна и осна симетрија, ротација, транслација… Фибоначијев низ… Ученици би за свако годишње доба украсили учионицу са математичким елементима из природе, затим би направили постере и изложбу, затим применом ИКТ алата направили би презентације, колаже итд. Ученици би се бавили истразивачким радом као и синтезом објеката из природе.

Такође циљ овог пројекта је развој мотивисности ученика за предмет математике, затим развој креативности те логичког и аптрактног закључивања, те подизање свести о очувању околине.

Ево једног линка: https://padlet.com/dun_jinskolskimejl/anedz6bbuf71

који се односи на јесен.

Завршни рад ученика наставнице Соње Влајин на семинару:

Рад инспирисан Етвининг пројектом: Famous female mathematicians 2 💕

Електронски часопис након изложбе радова у школи и истраживања које је претходило њој:

http://online.fliphtml5.com/emlkk/xgwp/?fbclid=IwAR1-LD2aD_TBXR2dYHxliGYybbGc-Kk8p6whu9noNfSGaNQY9S-4GuHJX8I#p=3

Осим у електронском облику, ученици су након истраживања креирали и паное.

Након израде плаката о познатим математичаркама уследила је и изложба радова која је и медијски пропраћена:

Пример колегинице Марије Јањић:

Математички пројекат – Проблеми једног лептира

Светски дан лептира обележава се 28. маја. Поводом обележавања тог дана заједно са ученицима петог разреда направићемо пано са задацима о лептирима.

Пронаћи ћемо разне задатке о лептирићима, или задатке о нечем другом па их прилагодити. То могу бити уобичајени математички задаци, али и мозгалице, ребуси, загонетке… Ученици могу и сами осмислити и саставити неки задатак. Затим ћемо прикупљени материјал откуцати у Word-у, одштампати на папирима различитих боја и изрезати сваки задатак у облику лептира. Лептире ћемо сложити на пано испред кабинета за математику. На дну паноа, испод задатака ћемо ставити решења на папирићима у облику гусеница, тако да ученици који буду решавали задатке могу и да их провере.

Колега Милош Цвенчек нас је одушевио такође:

Циљ: Израда плана реновирања куће

Исходи математика:  Ученик ће бити у стању да:

1.Користи математички језик и представи идеју и решење

2.Реши  проблем из свакодневног живота

3.Одреди површину у реалној ситуацији

4.Примени површину у реалним ситуацијама

5.Сакупи податке и прикаже табелом и дијаграмом

6.По потреби користи расположиви софтвер

• Код ученика развијамо и способности и вештине за рад у тиму, за сарадњу и емпатију, вештине за живот у демократском друштву
• Развијамо вештине комуникација, презентовања, самопоуздање и самопоштовање код ученика
• Развијамо компетенције за целоживотно учење, рад са подацима и информацијама, решавање проблема, дигиталне компетенције ( ако укључујемо рад на рачунару)
• Развијамо иницијативност и предузетничке компетенције

Продукти:  план реновирања куће

Дужина трајања: 10 дана

Активности наставника:

• Предлаже тему и мотивише ученике
• Формира групе и припрема задатке за самосталан рад група
• Предлаже ученицима одговарајући избор извора информација
• Консултује се са ученицима у току рада, координира рад група
• Координира неопходне активности у школи и ван школе
• Заједно са ученицима вреднује резултате процеса и пројекта

Активности ученика:

• Активно учествују у разматрању теме и предлажу подтеме за сваку групу
• међусобно деле задужења у групи и формулишу задатке истраживања
• Предлажу изворе информација, дају идеје
• Састављају план рада
• Истражују, прикупљају и обрађују информације
• Презентују свој рад
• Активно учествују у изради плана реновирања куће
• Учествују у самооцењивању и вредновању резултата рада

Потребни ресурси:
– интернет,-приручници, штампа,понуде из продавница
– непосредно прикупљање података из разговора

Инструмент за вредновање рада група
(1-5)

РЕАЛИЗАЦИЈА ПРОЈЕКТА

Наставник  заједно са ученицима разговара о избору теме: Реновирање куће. Одабир куће за реновирање.На часу Технике и технологије може бити урађен план куће са мерама.

Формирање 5 група и подела задатака:

Група А:Трпезарија

Група Б:Спаваћа соба

Група В:Кухиња

Група Г:Дечија соба и тераса

Група Д: Предсобље и купатило

Ученици који уређују терасу решавају задатке типа:

Колико цветова може стати на леју правоугаоног облика димензија 8м и 2м ако на сваки квадратни метар стану 24 цвета.

• или група задужена за купатило задатке типа:

Под квадратног облика странице 4м треба поплочати керамичким плочицама чије су димензије 20цм и 25цм.Колико плочица треба набавити?

• такође ученици рачунају колико литара(кг) боје треба за зидове.Колико ламината правоугаоног облика треба за под у соби,коју површину заузимају висећи делови у кухињи и слично.

Димензије просторија могу бити урађене и у неком бољем програму.

На крају ученици проверавају цену матерјала по продавницама и цену извођења радова и обједињују га у крајњи продукт.ПЛАН РЕНОВИРАЊА ЈЕДНЕ КУЋЕ ИЛИ СТАНА.

Идеално би било да у тренутку извођења пројекта заиста постоји нека кућа или стан који је предвиђен за реновирање (неко од родитеља,  пријатеља, родбине ), тада би ученици могли да раде план реновирање баш те куће или стана и да вреднују свој пројекат.

Пример добре праксе као завршни рад семинара послала нам је Снежана Милојковић, наставник математике Средње  машинско-електротехничке школе “Гоша”, Смедеревска Паланка.

Снежана је у сарадњи са наставницама из школе, наставницама Српског језика и књижевности и електротехничке групе предмета, креирала и реализовала пројекат на тему:

“Да ли је могуће применити тригонометрију правоуглог троугла у космосу?”

Презентацију прати ова занимљива музика, па предлажемо да је пустите у позадини приликом гледања презентације:

Саму презентацију можете видети у облику филма на следећем линку:

А текст позоришне представе која је изведена у оквиру пројекта можете видети у наставку текста:

Да ли је у космосу могуће применити тригонометрију правоуглог троугла ?

Професор: Добар дан децо. Ноћас сам сањала један чудан сам. Мала добра вила дошла ми је у сам и питала ме тужним и збуњеним гласом

Мала добра вила: Можете ли ми помоћи да нађем одговор на питање да ли тригонометрија правоуглог троугла може да се примени у космосу ?

Остала сам збуњена. Нисам знала како да јој помогнем па сам се сетила вас, мојих ђака. Рекох јој да дође опет сутра и да ћу имати одговор на њено питање.

Када смо код правоуглог троугла , реците ми за који троугао кажемо да је правоугли троугао ?

Ђаци (очекивани одговор): Троугао који има један прав угао тј. угао од 90° се назива правоугли троугао.

Професор: Да ли у њему остала два угла могу бити тупа?

Ђаци (очекивани одговор): Не могу, јер би у том случају збир унутрашњих углова био преко 180°, што је немогуће.

Професор: Како називамо странице правоуглог троугла?

Ђаци (очекивани одговор): Правоугли троугао има хипотенузу и две катете.

Професор: Сећам се да је некада давно живео један научник који је много волео правоугле троуглове, чак је написао једну теорему без које не можемо нигде макнути ако решавамо неки проблем у геометрији ?

Ђаци (очекивани одговор): Научник се звао Питагора.

Професор: Како гласи Питагорина теорема ?

Ђаци (очекивани одговор): Квадрат над хипотенузом једнак је збиру квадрата над обе катете.

Професор: То зна свако дете.

Професор: Такође се сећам да је постојао народ који је правоуглим троугловима придавао посебан значај, па је и једна врста троуглова добила име по њима. Који је то народ ?

Ђаци (очекивани одговор): То су били Египћани.

Професор: Какви су то троуглови и како се називају?

Ђаци (очекивани одговор): То су троуглови чије се странице односе 5:4:3. А троуглови се називају Египатски проуглови.

Професор: А како све ово применити на тригонометрију правоуглог троугла ? Чини ми се да чујем нешто што ми може помоћи да дам одговор малој доброј вили, а и чини ми се и да видим малу добру вилу…

/ Космичка станица „ Србија“ 2133. година. Космонаути Марија иМилош одржавају ову станицу. Камера на 50-ом спрату, која снима околину и јавља потенцијалну опасност, има одређених проблема .

Милош : „ Погледај ову камеру на 50-том спрату ! Нешто није уреду ! Изгубили смо пријем ! “

Марија: „ Покушаћу да је поправим “

Марија покушава да је поправи премошћивањм одређених функција али не иде…

Милош : „ Покушајмо да се попнемо лифтом, па да на лицу места поправимо камеру. “

Тако да су космонаути принуђени да приђу кабини из свемира. Милош и Марија облаче космичка одела и одлазе до лифта, покушавају да позову лифт. Нажалост и лифт који се креће под правим углом у односу на брод и који води до врха где се она налази такође се покварио.

Марија: „ Не могу да верујем и лифт се покварио, шта сада да радимо? “

Милош : „ Ништа идемо поново у кабину по наша специјална српска одела са најновијим супер-соничним мотором. “

Облаче одела, она у себи имају мотор и могу космонаута носити у свим могућим правцима тј. могуће је подесити угао кретања у односу на брод.

Милош : „ Подешавам мотор у оделу, под којим углом да подесим кретање ? “

Марија, после краћег времена одговори : „Под углом од 60 степени.“

Милош : „ Послушаћу те јер ти верујем, али ћеш ми објаснити како си дошла до тог решења док летимо.“

У току лета Марија је објаснила Матији на који начи је нашла вредност угла.

Марија : „ Ако погледамо видећемо да тунел у коме је лифт стоји под углом од 90° у односу на брод, тако да ће наш лет при изласку из кабине са тунелом и бродом чинити правоугли троугао ! “

(цртеж : тунел , платформа на коме је камера , космонаути , правоугли троугао -PPT )

Мала добра вила: Ево га тунел, ево је камера, а ово је излаз из брода. Па то је стварно правоугли троугао.

Милош : „ Странице правоуглог троугла су : хипотенуза и две катете“

Марија : „ Ако посматрамо катете правоуглог троугла у односу на угао оне могу бити наспрамна, која се налази наспрам датог угла иналегла, која належе на дати угао “

(цртеж : одређивање наспрамне и налегле катете правоуглог троугла )

Мала добра вила: Бирам овај угао, ова катета је наспрамна, а ова налегла.

Милош : „ Оно чега се ја сећам је да се размера страница мења када се мењају величине углова“ .

(цртеж : вредност размере када се мења величина угла )

Мала добра вила: Значи овако се мења размера када се мања величина угла.

Милош : „Такође се сећам да се не мења размера када се мењају величине страница за сталне углове“.

(цртеж : вредност размере када се мења величина странице )

Мала добра вила: Размера се не мења.

Марија : „ Одлично на основу тога се дефинишу основне тригонометријске функције правоуглог троугла. “

(цртеж : Дефинисање резмера – тригонометријске функције)

Мала добра вила: Синус, косинус, тангенс, котангенс… Аха, ово су тригонометријске ф-је.

Милош : „ Оштри углови у правоуглом троуглу су комплементарни углови, тј. њихов збир је 90° “ .

Марија : „ Тако да можемо успоставити једнакост између комплементарних углова “

(цртеж : тригонометријске функције комплементарних углова )

Мала добра вила: И ова веза може да се успостави.

Милош : „ Сећам се да втредност sin 30° износи  за остале вредности од 30°, 60°, 45°, 0°, 90° нисам баш сигуран а и калкулатор ми није при руци “ .

(цртеж : вредности триг. ф-ја углова од 30°, 60°, 45°)

Мала добра вила: Види користе квадрат и једнакостранични троугао .

Марија : „ То је лако запамтити ако знаш користити прсте једне руке .“

(цртеж : вредности триг. ф-ја углова помоћу прста руке )

Мала добра вила: Шта ће све ови људи смислити.

Милош : „ Можемо ли искористити основне тригонометријске идентитете ? “

(цртеж : Основни тригонометријски идентитет )

(цртеж : тангенс – синус, косинус ; котангенс – синус, косинус ; )

Марија : „ За решавање овог проблема идентитети нам нису потребни али можемо се подетити и осталих веза.“

(цртеж : тангенс – синус, тангенс – косинус; котангенс – синус, кангенс – косинус )

Мала добра вила: Занимљиво.

Милош : „ Дакле можемо да закључимо следеће, ако знамо угао и једну страницу можемо на основу тригонометријских функција одредити и остале две странице“

(цртеж : поступак решавања правоуглог троугла )

Мала добра вила: Ова бића завређују пажњу.

Марија : „ Такође можемо ако знамо две странице одредити углове, ако одредимо која тригонометријска функција их везује.“

Марија : „ Како морамо одредити угао под којим ћемо летети. Значи морамо применити тригонометрију правоуглог троугла .“

Марија : „ Ако један спрат има висину од 3,46 метара до врха – 50. спрат има 3,46 · 50 а то је 173 метара, растојање од излаза из кабине у космос до лифта је 100 метара. Значи наш лет са овим величинама обазује правоугли троугао. Можемо помоћу тангенса угла који предтавља количник наспрамне тј. висине до камере 173 метара и налегле катете тј. растојање од отвора у космос до подожја лифта је 100 метара. Када поделимо ове две вредности добијамо 1,73 а то је управо  .

Милош: „Сада знам, тангенс од 60° је  . Свака част Милоше, а сада да прионемо на посао и поправимо камеру.“

Космонаути Марија и Милош поправљају камеру.

Марија : „ Браво Милоше ниша не бисмо урадили да није твог знања и умења око поправке рано разних електронских уређаја“

Милош: „ Ипак не бисмо стигли од камере да није твог знања математике, да не кажем тригонометрије, сада смо заслужили једну кафу, овога пута ти куваш…“

Наратор и Мала добра вила : И ми би смо на ту кафу…

Професор: Сада знак како ћу објаснити малој доброј вили како може применити тригонометрију правоуглог троугла у космосу. али хајде да све ово поновим да ја нешто не би заборавила при објашњавању.

Професор: Ако посматрамо катете правоуглог троугла у односу на угао оне могу бити хипотенуза, наспрамна катета и налегла катета, Како их одређујемо ?

Ђаци (очекивани одговор): Хипотенуза се налази наспрам правог угла и она је најдужа катета, наспраман катета се налази наспрам датог угла и налегла належе на дати угао.

Професор: Како дефинишемо основне тригонометријске функције правоуглог троугла?

Ђаци (очекивани одговор): Синус – количник наспрамне катете и хипотенузе,

Косинус – количник налегле катете и хипотенузе,

Тангенс – количник наспрамне и налегле катете,

Котангенс – количник налегле и наспрамне катете.

Професор: Како успостављамо једнакост између комплементарних углова ?

Ђаци (очекивани одговор): Вредност тригонометријских функција датог угла увек је једнак вредности тригонометријских кофункција комплементарног угла датог угла.

Професор: Које оно геометријске фигуре користимо за лакше одређивање вредност тригонометри-јских функција рецимо угла од 45°?

Ђаци (очекивани одговор): Користимо квадрат.

Професор: Постоји ли лакши начин за одређивање вредност тригонометријских функција ?

Ђаци (очекивани одговор): Помоћу прстију једне руке.

Професор: Како се називају везе између тригонометријских функција ?

Ђаци (очекивани одговор): Те везе називамо Основни тригонометријски идентитети.

Професор: Како се називају везе између тригонометријских функција ?

Ђаци (очекивани одговор): Те везе називамо Основни тригонометријски идентитети.

Професор: Одлично сада све ово знам , али шта она мора прво да уочи да би могла да јеши свој проблем?

Ђаци (очекивани одговор): Мора да уочи правоугли троугао, у њему угао и да одреди која тригонометриска функција повезује дате странице .

Професор: Тачно сада ми једино преостаје да све ово поновим малој доброј вили, и да она све ово разуме и тако реши свој проблем.

Мала добра вила: Све сам разумела идем да применим тригонометрију правоуглог троугла.

УЛОГЕ :

Милош – Глишић Лазар, Марија – Толић Марија, Наратор – Николић Тодор,

Мала добра вила – Јелић Јелена, Професор – Снежана Милојковић

Професор – Снежана Милојковић

(ППТ презентација : тунел , платформа на коме је камера , космонаути , правоугли троугао )

Вујовић Страхиња, Павловић Арсеније, Ђорђевић Ђорђе :

(цртеж : одређивање наспрамне и налегле катете правоуглог троугла )

Ђурђевић Урош, Старчевић Николија :

(цртеж : вредност размере када се мења величина угла )

Поповић Марко, Ђорђевић Ђорђе :

(цртеж : вредност размере када се мења величина странице )

Марковић Снежана, Петровић Јована :

(цртеж : Дефинисање резмера – тригонометријске функције)

Здравковић Петар, Петровић Лидија :

(цртеж : тригонометријске функције комплементарних углова )

Вићентијевић Саша, Бељић Андреја :

(цртеж : вредности триг. ф-ја углова од 30°, 60°, 45° )

Павловић Урош, Симић Никола, Дончић Ивана :

(цртеж : вредности триг. ф-ја углова од 0° до 360° )

Стојадиновић Катарина, Чопић Андријана, Поповић Вера :

(цртеж : вредности триг. ф-ја углова помоћу прста руке )

Ћертић Урош, Стојићевић Михајло, Манојловић Милица :

(цртеж : Основни тригонометријски идентитет )

Бјелић Виктор, Маринковић Марија :

(цртеж : тангенс – синус, косинус ; котангенс – синус, косинус, тангенс – синус, тангенс – косинус; котангенс – синус, кангенс – косинус ; )

Дончић Ивана, Савић Светлана :

(цртеж : решавање правоуглог троугла)

Захваљујемо се колегиницама и њиховим ученицима на одличној реализацији пројекта, а видимо да су и они уживали у припреми и реализацији!!!